“Netto uitlekgewicht”, kent u die uitdrukking? Dat gevoel bekroop mij bij het uitwerken van de notities die ik in het boek gemaakt had. Ik heb het boek met veel enthousiasme gelezen, gestreept, opgezocht, rondgevraagd als ik iets niet snapte, kortom, echt gelezen. En dan ga ik een en ander uitwerken en dan blijk ik maar een paar dingen te noteren. Is dat erg? En waarom was (en ben) ik dan toch enthousiast over het boek?

Het boek is een indrukwekkende 540 pagina’s, 1,2 kg dik. En het staat vol met informatie over het geven van wiskunde. Het is wellicht het beste vakdidactiekboek dat ik tot nu toe gelezen heb over wiskunde. Het begint als algemene beschouwing en eindigt als een handleiding, een schatkamer en een toolbox.

De hoofdstukken

Voordat ik aan een wat meer afstandelijke blik toe kom, eerst een beschrijving van de hoofdstukken. Het zijn er 12, ik ga ze allemaal langs.

  1. Dit hoofdstuk beschrijft een beknopt of wellicht naïef model van de werking van de hersenen. Lange termijn, korte termijn en hoe die samenwerken. Belangrijke leerpunten:
    • Leerlingen leren waar jij als docent aandacht aan geeft.
    • Beginners denken anders dan experts. En op school hebben we meestal met beginners te maken.
    • Het werkgeheugen van leerlingen heeft een beperkte capaciteit. Die moeten we optimaal benutten.
    • Wanneer je modellen en strategieën gebruikt, gebruik dan modellen die altijd werken. Gebruik geen modellen die op een gegeven moment niet meer geldig zijn.
    • Een wiskundefobie bestaat, maar de oorzaak ligt meestal niet in de wiskunde maar bij de aanloop tot de wiskunde. De basistechnieken zijn niet op orde. Dat is dus te herstellen.
  2. Hoofdstuk 2 gaat in op motivatie van leerlingen. Barton zet hier de docent centraal. Die weet wat belangrijk is en wat er geleerd moet worden. Blijf bij het uitleggen vooral bij de (formele) wiskunde. Werken met contexten is zelden nuttig omdat de werkelijkheid veel complexer is dan beginners in de wiskunde aankunnen. En wat is er mis met echte wiskunde?
    Kennis en vaardigheden die succesvol toegepast worden, leiden tot motivatie. Dat veroorzaken is het werk van de docent. Dus zorg voor succes en dan kan de meest abstract wiskunde motiverend zijn.
  3. Expliciete instructie staat centraal in hoofdstuk 3. Barton redeneert, als je het als docent weet, waarom zou je leerlingen dan laten ploeteren met zelfontdekkend leren? Met de kans op falen, misconcepties en tijdverspilling? Uitleg, oefenen, feedback, dat is de aanpak. En natuurlijk mag je leuke aanpakken verzinnen, maar het komt neer op goede uitleg. Pas daarbij overigens op voor analogieën, die lopen altijd een keer spaak. Blijf gewoon bij de wiskunde. Kan in het begin meer energie kosten, maar levert op de lange duur meer op.
  4. Hoofdstuk 4 gaat de Cognitieve Belastings Theorie (Cognitive Load Theory, CLT) en de Cognitieve Theorie van Multimediaal leren toepassen op de lessen en het lesmateriaal. Dat zijn overigens geen theorieën die breed geaccepteerd zijn. Het zijn wel toolboxen die werken. Maar dat is wat anders.
    Barton bekijkt materiaal vanuit het perspectief van CLT en gaat bijvoorbeeld opgaven en afbeeldingen hierop beoordelen. En dan blijkt “less is more”. Redundantie, maar ook een fysiek afstand tussen afbeelding en tekst, belasten (beginners) onnodig. Dan moet het materiaal er dus echt anders uit zien.
    Ook de vraagstelling kan belasten. Voor een beginner is het bijvoorbeeld bij hoeken berekenen genoeg om te zeggen: “bereken alle hoeken en wat valt je op?”, in plaats van “is deze driehoek gelijkbenig?” waarbij veel rekenwerk vooraf gedaan moet worden om deze vraag te kunnen beantwoorden. Dit noemt Barton een “doelvrije” opgave in tegenstelling tot een “doelspecifieke” opgave. Met doelvrije opgaven kan iedereen wat goed hebben, wat motiveert en beginners verder helpt. Een meetkunde opgave doelvrij benaderen, gewoon alles berekenen wat je kunt, is overigens een strategie die ik leerlingen adviseer als je niet weten hoe ze bij het doel moeten komen. “begin maar, kijk maar waar je uit komt”.
    Wil je de aandacht richten en het geheugen niet overbelasten, dan moet je afleiding weghalen. Een sober lokaal, docent die niet loopt te kletsen, opgaven die focussen op wat geleerd moet worden in plaats van bijkomende vaardigheden (passergebruik bij een berekening in een cirkel bv).
  5. Dit hoofdstuk is een soort intermezzo. Het behandelt “uitleggen aan jezelf”. Een techniek die leerlingen gedachtengangen laat expliciteren. Het liefst van henzelf, maar dat werkt niet goed. Uitleggen hoe een ander aan een antwoord gekomen zou kunnen zijn, werkt redelijk. Het heeft een dieper leereffect dan zelf opgaven maken, maar het is een trade-off met tijd.
  6. Hoofdstuk 6 is het eerste hoofdstuk waarbij veel wat er tot nu toe besproken is, bij elkaar komt. Hij bespreekt dit aan de hand van de uitgewerkte voorbeelden. Naast een verantwoording, geeft hij nu ook een gedetailleerd antwoord op de “hoe dan?” vraag. Centraal staan de “uitgewerkte voorbeelden” en het “uitleggen aan jezelf”. De bespreking van de Labels (bij bv tabellen) vind ik hier niet op zijn plaats. Dat had volgens mij in hoofdstuk 4 thuisgehoord.
  7. Barton legt in dit hoofdstuk veel nadruk op het bespreken van de theorie aan de hand van uitgewerkte voorbeelden. Dit hoofdstuk start met zijn “biografie” van de accenten die hij in de lessen gelegd heeft. En nu komt hij dus uit bij de voorbeelden. In de bespreking noemt hij punten waar goede voorbeelden en vervolgopgaven aan moeten doen. Veel is herkenbaar uit de methodes waar ik mee gewerkt heb. Wat hij nieuw inbrengt is 1) pas laat noemen van de definitie, anders kunnen leerlingen er geen betekenis aan geven 2) het niet meer gebruiken van vuistregels en 3) het minimaal variëren zodat de basis, maar ook de randen en de non-voorbeelden van wat besproken wordt, zichtbaar worden. Meer dan één onderdeeltje van een som laten variëren verhult waar het om gaat. In de drie punten die hij meeneemt bij de afsluiting van het hoofdstuk staat het kiezen van de opgaven dan ook centraal.
  8. Theorie eenmaal besproken moet geoefend worden. Barton betoogt in dit hoofdstuk dat je moet focussen op de stappen die lastig zijn. Isoleer die en oefen die apart. Om het aanleren van fouten te voorkomen is het nodig om leerlingen in ieder geval de eindantwoorden te geven (vaak een mooie start voor een verhitte discussie op een wiskunde-sectie-vergadering, wat doen we met de antwoorden & uitwerkingen).
  9. Barton beweert en onderbouwt dat probleemoplossen geen vaardigheid is. Om problemen goed te kunnen aanpakken heb je in alle stappen van het probleemoplosproces domeinkennis nodig. Dat moet dus eerst. Pas als die er goed in zit, kan je naar complexere problemen toe. Leerlingen te vroeg in het leerproces problemen voorleggen waarbij ze falen, is tijdverspilling. De redenering voor zelfstandigheid is analoog.
  10. Doelbewust oefenen is het thema van dit hoofdstuk. En Barton zet dit in wanneer hij stof gaat herhalen. Al in het begin van het hoofdstuk stelt hij dat de meeste tijd hieraan besteed zou moeten worden, en dat we dat ook al doen. Hij noemt het het moeilijkste van het geven van onderwijs, immers, degenen die het nog niet snappen moet je aanspreken als beginner, de anderen als gevorderden of zelfs expert. Hij beschrijft opgaven die voor alle niveaus van lerenden interessant zijn.
    • Die snel zorgen voor succes
    • Ingaan op de kern van de theorie
    • Anders is dan voorgaande oefeningen
    • Uitdaagt tot dieper nadenken en probleemoplossen
    • Oefenen
    • Voor iedereen gelijk
  11. Wanneer je het hebt over toetsen zonder dat er een cijfer of iets dergelijks aan vast zit, kom je uit bij formatieve evaluatie en diagnostische vragen. Centraal staat het begrip bij de leerling en de informatie die het oplevert voor de leerling en de docent. Om dat effectief te kunnen doen, is een veilig leerklimaat, waarin fouten gemaakt mogen worden van groot belang. Barton haakt hierbij aan bij Lemov (2015). Barton werkt vervolgens de eisen aan goede diagnostische vragen uit. Daarna bespreekt hij gedetailleerd hoe dat er bij hem in de les uit ziet wanneer hij deze vragen stelt. Hoofdstuk 11 wordt afgesloten met een uitgebreide bespreking en weerlegging van de bezwaren tegen de inzet van meerkeuzevragen voor dit doel. Hij ziet het samen maken van deze opgaven als de beste besteding van de tijd van een sectievergadering. Ook hierbij beschrijft hij hoe dit er op zijn school uit ziet.
  12. Het laatste hoofdstuk grijpt terug naar hoofdstuk 1, over het geheugen. Hij werkt de aanwijzingen over Spaced Practice (De Bruyckere, 2016) verder uit. Hij heeft het dan wel over leerlingen die geen beginner meer zijn. Hij laat oude stof terugkomen in de les en pleit ook voor het herhalen daar van in het huiswerk. Daarbij grijpt hij ook terug naar voortgangstoetsing, waarbij een leerling niet alleen het laatste hoofdstuk, maar alle voorgaande hoofdstukken moet kennen en kunnen en die ook in de toets terugkomen. Hierbij beschrijft hij ook opgaven waarbij onderwerpen gecombineerd worden (bijvoorbeeld haakjes bij een oppervlakte van een driehoek berekenen).
    Wat mij bij dit hoofdstuk bij blijft, is het pre-test effect. Je toetst inhoud/vaardigheden die nog onderwezen moeten worden. Niet wat je verwacht, maar dit veroorzaakt op de toets betere resultaten. Het functioneert blijkbaar als een soort “advanced organiser”.
    De praktijk van de testjes bespreekt Barton weer uitgebreid. Inclusief wanneer, door wie en hoe al die testjes nagekeken moeten worden en hoe de feedback er uit moet zien. Ook weer niet wat je verwacht: feedback later geven, verhoogt het leereffect. En tegen de wens van leerlingen en ouders: laat vooral de leerling zelf uitzoeken of het goed of fout is en waarom. Alles dus om het zelf nadenken te veroorzaken. Dit laatste hoofdstuk is de klap op de vuurpijl. Afgeladen met ideeën en hoe die toe te passen.

De opbouw

Op enige afstand bekeken, bestaat het boek uit drie delen. In het eerste deel staat Barton vooral stil bij de achtergronden. Welke kennis, welke theorie, gebruikt hij om zijn lessen mee vorm te geven. Dit zijn de hoofdstukken 1 t/m 4. Daarna gaat hij door met hoe hij dit toepast in de lessen en vormgeeft in het materiaal dat hij gebruikt. Dit zijn de hoofdstukken 5 t/m 8. Met een intermezzo over probleemoplossen in de wiskunde (hoofdstuk 9), gaan de drie laatste hoofdstukken over quizjes, testen en toetsen.

Het boek bouwt langzaam op. En wat in het begin van het boek prettig leest, wordt met zulke aantallen pagina’s saai: de opbouw is steeds hetzelfde:

  • Wat heb ik gedaan.
  • Welke literatuur heb ik geraadpleegd
  • Bespreking van het eigen handelen en de literatuur, eventueel met voorbeelden
  • Hoe ga ik het voortaan doen.

Deze aanpak maakt ook dat in elke sectie een literatuurlijstje zit. En in het begin keek ik daar naar, maar na hoofdstuk 3 geloofde ik het wel. Enerzijds omdat het teveel is, anderzijds omdat er toch met enige regelmaat dezelfde verwijzingen terugkomen. Wat is er mis met de aanpak uit bijvoorbeeld APA-tijdschriften met één lijst. Of wat Ashman (2021) deed, per hoofdstuk? Het maakt elke sectie zelfstandig leesbaar, maar dat is nou net niet de bedoeling van een boek.
In de eerste hoofdstukken wordt ook eindeloos vooruitverwezen. Onderwerpen worden genoemd, maar met de kanttekening dat ze verderop uitgebreider besproken gaan worden. En in de latere hoofdstukken wordt er terugverwezen naar hoofdstukken waar hij zaken uitgelegd heeft. Volledig, grondig, maar pfff.
Tussendoor wordt in barokke taal rijkelijk gestrooid met voorbeelden uit zijn eigen lespraktijk. Soms vermakelijk, maar ik betrapte mijzelf ook hierbij nog wel eens op diagonaal lezen. In al die voorbeelden zit enerzijds de kracht, je kan echt zien hoe hij dingen aanpakt, maar er zit ook een zwakte. Wat als je dit onderwerp niet behandelt? En uit alle voorbeelden krijg ik een duidelijk onderbouwgevoel, is zijn boek dan ook nog relevant voor de bovenbouw?

In de / zijn praktijk

In de tweede helft van het boek (het voormalige deel 2), gaat Barton in op de consequenties voor lesgeven. Daar zit minder theorie in, maar onderbouwd door theorie beschrijft hij hoe hij zijn werkwijze aangepast heeft. Dat begint met het verwerpen van probleemgestuurd onderwijs, wat volgens mij een verstopt zijpad is. Daarna gaat hij door met drie hoofdstukken over het maken en inzetten van quizjes en testen. De voorbeelden zijn niet langer min of meer willekeurig gekozen, maar zijn zorgvuldig samengesteld om zijn punt duidelijk mee te maken. En dan niet alleen de regel, maar ook de uitzondering en wanneer een en ander niet meer van toepassing is.

Hierbij staan steeds dezelfde gedachten centraal:

  1. Je geeft les aan beginners.
  2. Focus de aandacht.
  3. Minimaliseer de belasting
  4. Ga uit van de beperkingen van het geheugen.
  5. Testen, quizjes zijn er om het leren te veroorzaken en te ondersteunen.

Naarmate het boek verder gaat, wordt het specifieker en praktischer. Daar zitten ook de mooie ideeën. Opgaven die je vertellen welke misconceptie leerlingen hebben, wat wel en wat niet bij teksten bij figuren, hoe je het nakijken van al die quizjes organiseert en dat minder feedback beter is. Hele mooie ideeën die soms wel en soms niet direct toepasbaar zijn. En het zijn er veel. Enerzijds is dat inspirerend, anderzijds ook ietwat demotiverend: hij heeft over de jaren heen een samenhangend systeem ontworpen dat zich niet makkelijk elders laat implementeren.

Het boek

Wat ik mooi vind is dat Barton vanuit zijn praktijk beschrijft hoe het zou moeten en vervolgens wat hij in de praktijk doet. Zoals gezegd ging de standaardindeling mij op den duur irriteren, maar de beschrijving van wat zou moeten en wat haalbaar is, is verfrissend. Ik lees dan aanpassingen die elders haalbaar gebleken zijn en niet van achter een bureau de praktijk gedropt zijn.
Bij veel onderwerpen heeft hij een duidelijk punt, bij anderen merk ik dat het blijft zweven. Barton weet het dan blijkbaar ook niet. In een enkel geval neemt hij je mee bij een enerzijds – anderzijds overweging om de relativiteit van zijn keuze inzichtelijk te maken. Raar genoeg draagt deze openlijke twijfel of “je moet toch wat kiezen”-keuze bij aan de geloofwaardigheid. Hij probeert het goed te doen en maakt af en toe arbitraire keuzes.
Bij een enkele voorbeeldopgave volgt Barton zijn eigen voorschrift over de vormgeving van afbeeldingen niet. Dat is dan wel weer grappig.

In het gehele boek leunt Barton enorm op een sterk vereenvoudigd model van de werking van de hersenen en het geheugen en implementeert hij de Cognitieve Belastings Theorie (Cognitive Load Theory, CLT) die niet overal als zeer stevig onderbouwd wordt gezien. Een typisch geval van “het werkt, maar niemand weet waarom”.

De Engelse humor, het barokke taalgebruik, de vooruitverwijzingen, de soms toch wel vele herhalingen en de lange uitweidingen maken het boek dik en soms lastig om door te komen. De gedetailleerde uitwerking van vereisten, lespraktijk en toepassingen maken het een schatkamer en een toolbox. Hij stelt duidelijk: zo doe je dit en wel hierom. Dat hij een tweede boek over die lespraktijk geschreven heeft van ongeveer gelijke omvang, geeft dan te vrezen (Barton, 2020).

De vertaling leest prettig. Op belangrijke punten is door René Kneyber, zelf ook docent wiskunde, een omzetting gemaakt naar het Nederlandse onderwijssysteem. Erg prettig, dan weet je beter waar je zaken moet plaatsen.

In mijn praktijk

In lijn met Barton, kan ik niet achter blijven met een beschrijving van wat ik ga doen in mijn lessen. Voor Covid had ik elke les een startopgave die bij binnenkomst op het scherm stond. Dat quizje is weer terug. De routine waar dit in het concrete programma van een les terecht komt, moet ik nog ontwikkelen, maar waarschijnlijk wordt dit de scheiding tussen uitleg en oefenen en zelf verder aan het werk. Midden in de les, zodat eventuele knelpunten uit het quizje nog besproken kunnen worden.
Ook de organisatie van feedback ga ik anders inrichten. Ik laat leerlingen graag zelf hun proefwerken nakijken, dat blijft, maar als dat niet kan, dan kan de feedback echt anders vormgegeven en georganiseerd. Een aanpak die direct tijd scheelt.

Vervolgens heb ik een wensenlijstje. Voortgangstoetsing, aanpassing van het lesmateriaal om Spaced Practice mogelijk te maken. Engeland heeft een ander landschap wat betreft lesmateriaal. Veel docenten ontwikkelen daar hun eigen materiaal en er is een actieve groep docenten die materiaal ook deelt. Het Engels materiaal vertalen gaat natuurlijk wat betreft de wiskunde prima, maar de collectie is ondertussen zodanig groot dat het overweldigend is. Terwijl de geschiedenis geleerd heeft dat zelf een wiskundemethode ontwikkelen voor docenten lastig is. Feitelijk zijn Moderne Wiskunde en Getal & Ruimte een duopoli. Dus het maken van de opgaven voor alle quizjes wordt een meerjarenproject. Hier moet de ambitie wat getemperd.

Het lerarentekort helpt hier ook niet bij. De zeven groepen 3havo waarbij ik dit zou willen inzetten hebben vijf docenten wiskunde, waarvan er één al langer op de school werkt en geen deze groep al enige tijd lesgeeft. Niet echt een situatie waarin je tijd vrij hebt om nieuwe dingen te ontwikkelen.

Conclusie

Een hele dikke (letterlijk) aanrader. Het is wachten op de verkorte versie.

Barton, C., Kneyber, R. (vert) (2019). Volgens Barton: Lesgeven in wiskunde aan de hand van wetenschap, experts, en 12 jaar aan mislukkingen. Culemborg: Pronhese

- Ashman, G. (2021). The power of explicit teaching and direct instruction (1ste dr.). Corwin.
- Barton, Craig. (2020). Reflect, Expect, Check, Explain: sequences and behaviour to enable mathematical thinking in ... The classroom.
- Bruyckere, de, P. (2016, september 6). De Nederlandse versies van de studieposters van The Learning Scientists. X, Y of Einstein? https://pedrodebruyckere.blog/2016/09/06/de-nederlandse-versies-van-de-studieposters-van-the-learning-scientists/
- Lemov, D., & Atkins, N. (2015). Teach like a champion 2.0: 62 techniques that put students on the path to college. San Francisco: Jossey-Bass.